Leonhard Euler
Obsah boxu
Leonhard Euler (* 15. dubna 1707, Basilej – 18. září 1783, Petrohrad) byl švýcarský matematik, fyzik, astronom, geograf, logik a inženýr, který strávil většinu svého života v Rusku a Prusku. Je považován za jednoho z největších a nejplodnějších matematiků všech dob. Jeho objevy a práce měly zásadní vliv na téměř všechny oblasti matematiky a přírodních věd.
Euler zavedl a zpopularizoval mnoho moderních matematických značek a terminologie, zejména v oblasti matematické analýzy, jako je například pojem matematické funkce. Je také proslulý svou prací v mechanice, dynamice kapalin, optice, astronomii a teorii hudby. I přes téměř úplnou ztrátu zraku v pozdějším věku jeho produktivita neklesla a vytvořil obrovské množství děl, která dodnes tvoří základ moderní vědy.
📜 Život
🇨🇭 Raná léta v Basileji
Leonhard Euler se narodil v Basileji ve Švýcarsku Paulu Eulerovi, pastorovi reformované církve, a Marguerite Bruckerové, dceři pastora. Měl dvě mladší sestry, Annu Marii a Marii Magdalenu. Krátce po Leonhardově narození se rodina přestěhovala do města Riehen, kde Euler strávil většinu svého dětství. Jeho otec byl přítelem rodiny Bernoulli, což bylo klíčové pro Eulerovu budoucnost.
Již v mládí projevil Euler mimořádný matematický talent. Jeho otec ho původně připravoval na dráhu pastora a poslal ho studovat na Univerzitu v Basileji. Zde se setkal s Johannem Bernoullim, který brzy rozpoznal jeho genialitu a přesvědčil jeho otce, že Leonhard je předurčen stát se velkým matematikem. Bernoulli se stal jeho soukromým učitelem a měl na něj obrovský vliv. V roce 1723 Euler dokončil magisterské studium s prací porovnávající filozofii Descarta a Newtona.
🇷🇺 První pobyt v Petrohradě
Na doporučení synů Johanna Bernoulliho, Daniela a Nicolause II., kteří již působili na Carské akademii věd v Petrohradě, přijal Euler v roce 1727 nabídku na pozici v lékařské sekci akademie. Po příjezdu do Ruska se však brzy přesunul na matematické oddělení. Zde úzce spolupracoval s Danielem Bernoullim.
Toto období bylo pro Eulera velmi produktivní. V roce 1734 se oženil s Katharinou Gsellovou, dcerou švýcarského malíře. Měli spolu třináct dětí, z nichž se však dospělosti dožilo pouze pět. V roce 1738 Euler tragicky přišel o zrak v pravém oku, pravděpodobně v důsledku přepracování a prodělané nemoci. Svůj stav komentoval slovy, že nyní bude mít méně rozptýlení.
🇩🇪 Působení v Berlíně
V roce 1741 přijal Euler nabídku pruského krále Fridricha II. Velikého a přestěhoval se do Berlína, aby pomohl vybudovat Pruskou akademii věd. V Berlíně strávil 25 let a napsal zde přes 380 článků. Publikoval zde dvě ze svých nejvýznamnějších děl: Introductio in analysin infinitorum (Úvod do analýzy nekonečna, 1748) a Institutiones calculi differentialis (Základy diferenciálního počtu, 1755).
Během svého pobytu v Berlíně sepsal také slavnou sérii více než 200 dopisů pro německou princeznu z Anhalt-Dessau, která se stala základem knihy Dopisy německé princezně o různých předmětech z fyziky a filozofie. Tato kniha se stala nesmírně populární a byla přeložena do mnoha jazyků, čímž Euler zpřístupnil vědecké poznatky širší veřejnosti. Vztahy s králem Fridrichem II. se však postupně zhoršovaly, protože král Eulera považoval za příliš "nesofistikovaného" pro svůj dvůr.
🇷🇺 Návrat do Ruska a poslední léta
V roce 1766 se Euler na pozvání carevny Kateřiny II. Veliké vrátil do Petrohradu. Krátce po návratu se jeho zrak rapidně zhoršil v důsledku šedého zákalu i na levém oku a brzy se stal téměř úplně slepým. Jeho vědecká produktivita však paradoxně ještě vzrostla. Díky své fenomenální paměti a schopnosti provádět složité výpočty z hlavy diktoval své práce písařům, mezi nimiž byl i jeho syn Johann. Během svého druhého pobytu v Petrohradě vytvořil téměř polovinu svého celoživotního díla.
V roce 1773 zemřela jeho manželka Katharina. O tři roky později se znovu oženil s její nevlastní sestrou Salome Abigail Gsellovou. Dne 18. září 1783 zemřel v Petrohradě na mozkovou mrtvici. Je pohřben na Smolenském luterském hřbitově.
🔬 Vědecký přínos
Eulerův přínos pro vědu je monumentální. Jeho sebrané spisy, vydávané pod názvem Opera Omnia, čítají přes 80 velkých svazků, což z něj činí nejplodnějšího matematika v historii.
🔢 Matematická notace
Mnoho dnes běžně používaných matematických symbolů a značek zavedl nebo zpopularizoval právě Euler. Patří mezi ně:
- f(x) pro označení funkce.
- e pro základ přirozeného logaritmu, dnes známé jako Eulerovo číslo.
- i pro označení imaginární jednotky ($$i = \sqrt{-1}$$).
- π (pí) pro označení poměru obvodu kruhu k jeho průměru.
- Σ (sigma) pro součet řady.
- Značení stran trojúhelníku malými písmeny (a, b, c) a protilehlých úhlů velkými písmeny (A, B, C).
📈 Matematická analýza
Euler je považován za jednoho ze zakladatelů matematické analýzy. Propojil diferenciální počet a integrální počet do uceleného systému. Jeho práce Introductio in analysin infinitorum položila základy moderní analýzy. Zavedl a systematicky používal exponenciální funkci a logaritmus. Proslulá je jeho práce s nekonečnými řadami, zejména s mocninnými řadami.
⚛️ Komplexní čísla a Eulerova identita
Euler učinil zásadní objev v oblasti komplexních čísel, když odvodil vztah známý jako Eulerova formule:
- $$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$$
Tato formule elegantně propojuje exponenciální funkci s goniometrickými funkcemi. Dosazením $$x = \pi$$ do této formule získáme slavnou Eulerovu identitu:
- $$e^{i\pi} + 1 = 0$$
Tato rovnice je často označována za nejkrásnější matematickou rovnici, protože spojuje pět základních matematických konstant: 0, 1, e, i a π.
🌉 Teorie grafů a topologie
V roce 1736 Euler vyřešil slavný problém sedmi mostů v Královci. Jeho řešení, které ukázalo, že taková procházka není možná, je považováno za první práci v oboru teorie grafů. Zavedl klíčové pojmy jako vrchol a hrana. Jeho práce na konvexních mnohostěnech vedla k objevu vztahu V − E + F = 2 (počet vrcholů minus počet hran plus počet stěn se rovná 2), známého jako Eulerova charakteristika, což je základní pojem v topologii.
🎲 Teorie čísel
Euler položil základy moderní teorie čísel. Systematicky studoval práce Pierra de Fermata, přičemž mnohé jeho hypotézy dokázal nebo vyvrátil. Zavedl Eulerovu funkci φ(n), která udává počet přirozených čísel menších než n, která jsou s n nesoudělná. Dokázal malou Fermatovu větu a zobecnil ji pomocí své funkce (Eulerova věta).
⚙️ Fyzika a astronomie
Euler aplikoval své matematické metody na řešení problémů ve fyzice a astronomii. Zformuloval Eulerovy rovnice pohybu, které popisují pohyb tuhého tělesa. Vytvořil Eulerovy-Lagrangeovy rovnice v variačním počtu, které jsou základem klasické mechaniky. Významně přispěl k dynamice tekutin, optice (prosazoval vlnovou teorii světla) a nebeské mechanice, kde s velkou přesností vypočítal dráhy komet a jiných nebeských těles.
🏛️ Odkaz a význam
Eulerův vliv na matematiku a vědu je nepopsatelný. Francouzský matematik Pierre-Simon Laplace údajně řekl: "Čtěte Eulera, čtěte Eulera, je to mistr nás všech." Jeho jméno nese obrovské množství vět, vzorců, rovnic, konstant a konceptů. Jeho práce položila základy pro vývoj matematiky v 19. a 20. století.
Na jeho počest byly pojmenovány asteroid 2002 Euler a kráter Euler na Měsíci. Byl vyobrazen na švýcarské desetifrankové bankovce a na mnoha poštovních známkách ve Švýcarsku, Německu i Rusku.
💡 Pro laiky
Eulerovo číslo (e)
Představte si, že máte v bance 1 korunu s úrokem 100 % ročně. Na konci roku budete mít 2 koruny. Co když se ale úrok připisuje častěji?
- Při připisování 2x ročně (50 % za půlrok) budete mít na konci 2,25 Kč.
- Při připisování 12x ročně (měsíčně) budete mít asi 2,61 Kč.
- Při připisování každý den budete mít asi 2,71 Kč.
Když úrok připisujete neustále, v každém okamžiku, dostanete se k číslu, kterému říkáme Eulerovo číslo e. Je to přibližně 2,718 a popisuje "přirozený" růst v přírodě, financích i vědě.
Problém sedmi mostů v Královci
Obyvatelé města Královec (dnešní Kaliningrad) si kladli otázku: Lze se projít po městě tak, aby člověk přešel každý ze sedmi mostů přes řeku Pregolu právě jednou a vrátil se na stejné místo? Euler ukázal, že to nejde. Jeho geniální myšlenka spočívala v tom, že zjednodušil mapu města na body (pevniny) a čáry (mosty). Zjistil, že taková cesta je možná pouze tehdy, pokud z každého bodu vychází sudý počet čar. V Královci to tak nebylo. Tímto řešením založil zcela nové odvětví matematiky – teorie grafů, která se dnes používá v logistice, informatice nebo sociálních sítích.
Eulerova identita (e^(iπ) + 1 = 0)
Tato rovnice je často považována za matematickou báseň. Spojuje pět nejdůležitějších čísel v matematice:
- 0 – neutrální prvek pro sčítání.
- 1 – neutrální prvek pro násobení.
- π (pí) – klíčové číslo v geometrii, spojené s kruhy.
- e – klíčové číslo v analýze, spojené s růstem.
- i – imaginární jednotka, základ komplexních čísel.
Skutečnost, že tato zdánlivě nesouvisející čísla jsou propojena takto jednoduchým a elegantním vztahem, fascinuje matematiky dodnes.