Přeskočit na obsah

Plocha

Z Infopedia
Rozbalit box

Obsah boxu

Šablona:Infobox Veličina

Plocha (také obsah plochy nebo výměra) je fyzikální veličina, která vyjadřuje velikost (rozsah) dvourozměrného útvaru v rovině nebo na zakřiveném povrchu. Je to míra toho, kolik místa daný útvar zabírá. V matematice je plocha definována jako míra množiny bodů. Základní jednotka SI pro plochu je metr čtvereční (m²), což je plocha čtverce o straně dlouhé jeden metr.

Plocha se obvykle označuje symbolem S (z latinského superficies – povrch) nebo A (z anglického area). Výpočet plochy je základní úlohou v geometrii, analytické geometrii a integrálním počtu. Má zásadní praktické využití v mnoha oborech, jako je stavebnictví, zemědělství, geodézie, fyzika a inženýrství.

📜 Historie

Koncept plochy je jedním z nejstarších matematických konceptů, jehož počátky sahají až do starověkých civilizací.

🏛️ Starověk

Potřeba měřit plochu vznikla z praktických důvodů, především v zemědělství. Ve starověkém Egyptě bylo nutné každoročně znovu vyměřovat pole po záplavách řeky Nil. Egypťané vyvinuli jednoduchá pravidla pro výpočet plochy základních útvarů, jako jsou obdélníky a trojúhelníky. Jejich znalosti jsou zaznamenány na Rhindově a Moskevském papyru. Podobné znalosti měli i v Mezopotámii, kde je využívali pro daňové účely a stavbu monumentálních budov.

Skutečný teoretický základ geometrie a výpočtu ploch položili staří Řekové. Eukleidés ve svých Základech axiomaticky definoval geometrické pojmy a odvodil vzorce pro plochy mnohoúhelníků. Klíčovou postavou byl Archimédés ze Syrakus, který vyvinul tzv. exhaustivní metodu (metodu vyčerpání) pro výpočet plochy složitějších útvarů, jako je plocha ohraničená parabolou nebo plocha kruhu. Jeho přístup byl předchůdcem moderního integrálního počtu.

📈 Středověk a novověk

Během středověku byly znalosti antické matematiky v Evropě částečně zapomenuty, ale byly uchovávány a dále rozvíjeny v islámském světě a v Indii. Indický matematik Brahmagupta odvodil v 7. století vzorec pro výpočet plochy tětivového čtyřúhelníku, známý jako Brahmaguptův vzorec.

Revoluci ve výpočtu ploch přinesl v 17. století vynález integrálního počtu, za nímž nezávisle na sobě stáli Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz. Integrální počet poskytl univerzální metodu pro výpočet plochy pod křivkou, což umožnilo přesně určit plochy i velmi nepravidelných a složitých tvarů. Tento objev propojil do té doby oddělené problémy výpočtu ploch (integrace) a nalezení tečen (derivace) prostřednictvím základní věty integrálního počtu.

V 19. a 20. století došlo k dalšímu zobecnění pojmu plochy v rámci teorie míry, kterou rozvinuli matematici jako Henri Lebesgue. Lebesgueův integrál rozšířil koncept plochy na mnohem širší třídu množin, než bylo možné s dřívějším Riemannovým integrálem.

📐 Matematická definice a výpočet

V eukleidovské geometrii je plocha definována pomocí několika základních axiomů:

  1. Plocha je vždy nezáporné reálné číslo.
  2. Shodné útvary mají stejnou plochu.
  3. Pokud je útvar rozdělen na několik nepřekrývajících se částí, jeho celková plocha je součtem ploch těchto částí.
  4. Plocha jednotkového čtverce (čtverce o straně délky 1) je rovna 1.

🧮 Vzorce pro základní rovinné útvary

Pro mnoho běžných geometrických útvarů existují jednoduché vzorce pro výpočet jejich plochy.

  • Čtverec: Plocha čtverce se stranou o délce a je:
   :S = a²
  • Obdélník: Plocha obdélníku se stranami o délkách a a b je:
   :S = a ⋅ b
  • Trojúhelník: Plocha trojúhelníku se základnou z a příslušnou výškou v je:
   :S = (z ⋅ v) / 2
   Pro výpočet z délek stran a, b, c lze použít Heronův vzorec, kde s je poloviční obvod:
   :s = (a + b + c) / 2
   :S = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
  • Rovnoběžník: Plocha rovnoběžníku se stranou a a výškou k ní příslušnou vₐ je:
   :S = a ⋅ vₐ
  • Lichoběžník: Plocha lichoběžníku se základnami a, c a výškou v je:
   :S = ((a + c) ⋅ v) / 2
  • Kruh: Plocha kruhu o poloměru r je:
   :S = π ⋅ r² (kde π je Ludolfovo číslo, přibližně 3,14159)
  • Elipsa: Plocha elipsy s hlavní poloosou a a vedlejší poloosou b je:
   :S = π ⋅ a ⋅ b

∫ Plocha pomocí integrálního počtu

Integrální počet poskytuje mocný nástroj pro výpočet plochy útvarů, které nejsou tvořeny přímkami.

  • Plocha pod křivkou: Plocha ohraničená grafem nezáporné funkce f(x), osou x a přímkami x = a a x = b je dána určitým integrálem:
   :S = ∫ₐᵇ f(x) dx
  • Plocha v polárních souřadnicích: Pro křivku zadanou v polárních souřadnicích rovnicí r = f(φ) je plocha výseče mezi úhly α a β dána vzorcem:
   :S = ½ ∫ₐᵇ [f(φ)]² dφ

🗺️ Plocha povrchu těles

Plocha se nevztahuje jen na rovinné útvary, ale i na povrchy trojrozměrných těles.

  • Krychle: Povrch krychle o hraně a je S = 6a².
  • Kvádr: Povrch kvádru s hranami a, b, c je S = 2(ab + ac + bc).
  • Koule: Povrch koule o poloměru r je S = 4πr².
  • Válec: Povrch válce s poloměrem podstavy r a výškou v je S = 2πr(r + v).

📏 Jednotky plochy

Základní jednotkou plochy v soustavě SI je metr čtvereční (m²).

метриické jednotky (SI)

⚛️ Speciální jednotky

🇬🇧 Anglosaské jednotky

V některých zemích, jako jsou nebo , se stále používají tradiční jednotky:

⚙️ Aplikace v praxi

Výpočet plochy má široké uplatnění v mnoha vědních i praktických oborech.

💡 Pro laiky

Představte si, že chcete pokrýt podlahu v pokoji novým kobercem. Plocha je jednoduše odpověď na otázku: "Jak velký kus koberce potřebuji koupit?". Je to míra, která nám říká, jak je nějaký povrch "velký".

Když slyšíte, že byt má rozlohu 70 metrů čtverečních (70 m²), znamená to, že byste na jeho podlahu mohli vedle sebe bez mezer a překrývání položit přesně 70 čtvercových dlaždic, z nichž každá má stranu dlouhou jeden metr.

Proč se používá "čtvereční"? Protože měříme ve dvou směrech – na délku i na šířku. Kdybychom měřili jen délku (například provázku), použili bychom metry. Ale protože povrch má délku i šířku, musíme použít jednotku, která má také délku a šířku – a to je právě čtverec. Plocha tedy není o tom, jak je něco dlouhé, ale o tom, kolik místa to zabírá na rovném povrchu.


Šablona:Aktualizováno

Citováno z „https://infopedia.cz/index.php?title=Plocha&oldid=15573“