Elipsa

Rozbalit box

Obsah boxu

Šablona:Infobox - Geometrický útvar Elipsa je uzavřená křivka v rovině, která patří mezi kuželosečky. Lze ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž součet vzdáleností od dvou pevných bodů, zvaných ohniska, je konstantní. Elipsa je zobecněním kružnice; kružnice je speciálním případem elipsy, kde obě ohniska splývají v jeden bod (střed). Tvar elipsy, tedy její "zploštění", je určen její excentricitou, která může nabývat hodnot od 0 (pro kružnici) do 1 (pro degenerovanou elipsu, tj. úsečku).

Elipsy mají zásadní význam v astronomii, protože Johannes Kepler na počátku 17. století zjistil, že planety a další tělesa ve Sluneční soustavě se pohybují po eliptických drahách, přičemž Slunce se nachází v jednom z jejich ohnisek. Tento objev, známý jako první Keplerův zákon, nahradil starší modely s kruhovými drahami. Elipsy se také využívají v architektuře, optice a inženýrství.

📜 Historie

Pojem elipsy, spolu s parabolou a hyperbolou, byl zaveden již ve starověkém Řecku.

🏛️ Antické objevy

První systematické studium kuželoseček se připisuje Menaechmovi (cca 380–320 př. n. l.), žákovi Platóna a Eudoxa. Menaechmus objevil tyto křivky při pokusu o řešení délského problému (zdvojení krychle). Jeho práce se však nedochovala a je známa pouze ze zmínek pozdějších matematiků.

Nejvýznamnějším antickým dílem o kuželosečkách je osmisvazková kniha Kónika (Kuželosečky), kterou napsal Apollónios z Pergy (cca 262–190 př. n. l.). Apollónios poskytl komplexní a rigorózní výklad vlastností těchto křivek. Byl to on, kdo zavedl názvy elipsa (z řeckého elleipsis, "nedostatek"), parabola (parabolé, "přiložení") a hyperbola (hyperbolé, "nadsázka"). Tyto názvy souvisely s porovnáváním plochy čtverce s plochou určitého obdélníka v jeho geometrické interpretaci.

🌌 Renesance a astronomie

Po pádu antického světa upadlo studium kuželoseček na dlouhou dobu v zapomnění. Znovuobjeveny byly až v renesanční Evropě. Klíčový zlom přišel na začátku 17. století díky práci německého astronoma Johannese Keplera.

Kepler se léta snažil popsat dráhu planety Mars pomocí kružnic a epikyklů, jak předpokládal Koperníkův heliocentrický model. Po analýze přesných pozorování Tychona Brahe však dospěl k revolučnímu závěru, že dráha Marsu není kruhová, ale eliptická. V roce 1609 publikoval své první dva zákony planetárního pohybu v díle Astronomia nova:

1. Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách, v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce.
2. Obsahy ploch opsaných průvodičem planety (spojnice planety a Slunce) za stejný čas jsou stejně velké.

Tento objev měl obrovský dopad na vývoj fyziky a astronomie. Později Isaac Newton ve svém díle Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687) matematicky dokázal, že eliptické dráhy jsou přímým důsledkem jeho zákona všeobecné gravitace.

⚙️ Definice a vlastnosti

Elipsu lze definovat několika ekvivalentními způsoby.

📍 Ohnisková definice

Nejběžnější definice elipsy je planimetrická (rovinná):

Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů F₁ a F₂ (ohnisek) konstantní součet vzdáleností.

Tento konstantní součet se obvykle značí 2a a je roven délce hlavní osy elipsy. Pro libovolný bod X na elipse tedy platí:

$|X{F}_1|+|X{F}_2|=2a$

Pokud ohniska F₁ a F₂ splynou v jeden bod, výslednou křivkou je kružnice s poloměrem a.

🔪 Definice pomocí řezu kužele

Elipsa vznikne jako průnik kuželové plochy a roviny, která svírá s osou kužele větší úhel než povrchová přímka kužele, ale menší než 90°. Rovina protíná všechny povrchové přímky kužele a není na jeho osu kolmá (v takovém případě by řezem byla kružnice).

Základní prvky elipsy

• Ohniska (F₁, F₂): Dva pevné body, které definují elipsu.
• Střed (S): Střed úsečky F₁F₂. Je středem souměrnosti elipsy.
• Hlavní osa: Přímka procházející oběma ohnisky. Délka úsečky, kterou elipsa vytíná na hlavní ose, je 2a.
• Vedlejší osa: Přímka kolmá na hlavní osu, procházející středem S. Délka úsečky, kterou elipsa vytíná na vedlejší ose, je 2b.
• Hlavní vrcholy (A, B): Průsečíky elipsy s hlavní osou. Jejich vzdálenost od středu je a.
• Vedlejší vrcholy (C, D): Průsečíky elipsy s vedlejší osou. Jejich vzdálenost od středu je b.
• Hlavní poloosa (a): Vzdálenost středu od hlavního vrcholu.
• Vedlejší poloosa (b): Vzdálenost středu od vedlejšího vrcholu.
• Lineární excentricita (e): Vzdálenost ohniska od středu elipsy. Mezi veličinami a, b, e platí pythagorejský vztah: $a^2=b^2+e^2$.
• Číselná (numerická) excentricita (ε): Bezrozměrné číslo, které popisuje "zploštění" elipsy. Je definována jako poměr lineární excentricity a hlavní poloosy: $\epsilon =\frac{e}{a}$. Pro elipsu platí $0\le \epsilon <1$.
  • Pro $\epsilon =0$ je elipsa kružnicí (e=0, a=b).
  • S rostoucí excentricitou se elipsa stává protáhlejší.

📐 Rovnice elipsy

Analytické vyjádření elipsy závisí na zvolené soustavě souřadnic.

Kartézská soustava souřadnic

Nejjednodušší tvar má rovnice elipsy se středem v počátku [0, 0] a osami rovnoběžnými se souřadnicovými osami.

Středová rovnice

• Hlavní osa na ose x:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Ohniska mají souřadnice F₁ = [-e, 0] a F₂ = [e, 0].

• Hlavní osa na ose y:

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

Ohniska mají souřadnice F₁ = [0, -e] a F₂ = [0, e].

Pokud je střed elipsy posunut do bodu S = [m, n], rovnice má tvar:

$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$

Obecná rovnice

Obecná rovnice kuželosečky je $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$. Aby tato rovnice představovala elipsu, musí platit $B^2-4AC<0$. Pokud je navíc $B=0$ a $A\ne C$, osy elipsy jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami.

Parametrické rovnice

Elipsu se středem v počátku lze popsat parametricky pomocí goniometrických funkcí:

$x(t)=a\cos t$

$y(t)=b\sin t$

kde parametr $t\in [0,2\pi )$. Parametr t zde nepředstavuje úhel průvodiče bodu, ale je to tzv. anomálie v astronomické terminologii.

Polární soustava souřadnic

V polárních souřadnicích, kde je počátek umístěn v jednom z ohnisek, má rovnice elipsy tvar:

$r(\theta )=\frac{a(1-{\epsilon }^2)}{1\pm \epsilon \cos \theta }$

Tento tvar je obzvláště užitečný v nebeské mechanice.

✏️ Konstrukce elipsy

Elipsu lze narýsovat několika způsoby.

• Zahradnická konstrukce: Tato metoda přímo vychází z ohniskové definice. Do rýsovací plochy se zapíchnou dva špendlíky (ohniska F₁, F₂). K nim se přiváže provázek o délce 2a. Napnutím provázku tužkou a jejím pohybem se opíše přesná elipsa.
• Proužková (papírová) konstrukce: Na proužek papíru se vyznačí tři body P, Q, R tak, že |PQ| = b a |PR| = a. Proužek se poté pohybuje tak, aby bod Q ležel stále na jedné přímce (např. budoucí hlavní ose) a bod R na přímce k ní kolmé (budoucí vedlejší ose). Bod P přitom opisuje elipsu.
• Rytzova konstrukce: Umožňuje zkonstruovat hlavní a vedlejší osu elipsy, jsou-li známy dva sdružené průměry.
• Bodová konstrukce: Lze ji provést na základě středové rovnice. Zvolí se body na hlavní ose a pomocí kružnic se dohledávají odpovídající body elipsy.

🧮 Výpočty

Plocha

Plocha (obsah) elipsy je dána jednoduchým vzorcem:

$S=\pi ab$

Tento vzorec je zobecněním vzorce pro plochu kruhu ($S=\pi r^2$), protože pro kruh platí a = b = r.

Obvod

Na rozdíl od plochy neexistuje jednoduchý vzorec pro výpočet obvodu elipsy pomocí elementárních funkcí. Obvod O je dán eliptickým integrálem druhého druhu:

$O=4a\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-{\epsilon }^2{\sin }^{2}t}dt=4aE(\epsilon )$

Pro praktické účely se používají různé aproximace. Jedna z nejznámějších a nejpřesnějších je od indického matematika Srinivasy Ramanujana:

• $O\approx \pi [3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}]$
• $O\approx \pi (a+b)(1+\frac{3h}{10+\sqrt{4-3h}})$, kde $h=\frac{(a-b{)}^2}{(a+b{)}^2}$

🌍 Využití v praxi

Elipsa a její vlastnosti nacházejí uplatnění v mnoha oborech.

• Astronomie a kosmonautika: Jak bylo zmíněno, dráhy planet, komet, asteroidů a umělých družic jsou elipsy. Perihélium a afélium (nejbližší a nejvzdálenější bod dráhy od Slunce) odpovídají hlavním vrcholům elipsy.
• Architektura a stavebnictví: Eliptické klenby a oblouky jsou nejen esteticky zajímavé, ale mají i dobré statické vlastnosti. Příkladem je půdorys Kolosea v Římě.
• Akustika: V místnostech s eliptickým stropem nebo půdorysem (tzv. šeptající galerie) se zvuk vydaný v jednom ohnisku odráží tak, že se sbíhá v druhém ohnisku. I tichý šepot je tak slyšet na velkou vzdálenost. Známé příklady jsou v katedrále sv. Pavla v Londýně nebo v Národním sochařském sále v Kapitolu ve Washingtonu.
• Optika: Eliptické zrcadlo odráží světelné paprsky vycházející z jednoho ohniska do druhého. Toho se využívá v některých typech laserů, světlometů nebo teleskopů.
• Medicína: Princip odrazu se využívá v přístroji zvaném litotriptor. Rázové vlny generované v jednom ohnisku jsou soustředěny do druhého ohniska, kde se nachází ledvinový kámen, který je tímto způsobem bezoperačně rozdrcen.
• Strojírenství: Eliptická ozubená kola umožňují převod s proměnlivým převodovým poměrem během jedné otáčky.

💡 Pro laiky

Představit si elipsu je snadné. Je to v podstatě zploštělá nebo natažená kružnice.

• Jak ji nakreslit? Nejjednodušší způsob je tzv. "zahradnická metoda". Představte si, že na záhoně chcete vytvořit eliptický tvar. Zatlučete do země dva kolíky (to jsou ohniska). Vezmete provázek, jehož konce svážete k sobě, a přehodíte ho přes oba kolíky. Potom vezmete klacek nebo křídu, napnete provázek a objedete s ním kolíky dokola. Výsledkem bude dokonalá elipsa. Délka provázku určuje velikost elipsy a vzdálenost kolíků její "zploštění". Čím blíže jsou kolíky u sebe, tím více se elipsa podobá kružnici.

• Kde se s ní setkáme?
  • Vesmír: Všechny planety, včetně naší Země, neobíhají kolem Slunce v dokonalém kruhu, ale po mírně eliptické dráze. Slunce přitom není uprostřed, ale v jednom z ohnisek.
  • Architektura: Mnoho slavných staveb, jako je Koloseum v Římě, má eliptický půdorys.
  • Zvukové triky: V některých speciálně postavených místnostech (tzv. šeptající galerie) si můžete vyzkoušet zajímavý jev. Když si stoupnete do jednoho ohniska a něco potichu zašeptáte, člověk stojící v druhém ohnisku (i desítky metrů daleko) vás uslyší naprosto zřetelně, zatímco lidé mezi vámi neuslyší nic. Je to proto, že se zvukové vlny od eliptických stěn odrážejí přesně do druhého ohniska.

Stručně řečeno, elipsa je elegantní a velmi užitečná křivka, která popisuje pohyb ve vesmíru a umožňuje vytvářet zajímavé konstrukce a zařízení.

Šablona:Aktualizováno