Přirozené číslo

Rozbalit box

Obsah boxu

Šablona:Infobox - matematický pojem Přirozené číslo je základní matematický pojem, který označuje číslo používané k určení počtu prvků (kardinality) nebo k určení pořadí (ordinality). Jsou to čísla, se kterými se člověk setkává nejdříve a která tvoří základ pro budování složitějších číselných soustav. Množina všech přirozených čísel se v matematice standardně značí symbolem ℕ (z latinského naturalis, přirozený).

Existují dvě hlavní konvence, jak je množina přirozených čísel definována:

Kladná celá čísla: {1, 2, 3, 4, ...}. Tato definice je tradičnější a často se používá v teorii čísel.
Nezáporná celá čísla: {0, 1, 2, 3, ...}. Tato definice, zahrnující i nulu, je preferována v oblastech jako teorie množin, matematická logika a informatika.

Kvůli této nejednoznačnosti se pro přesnost často používá doplňkové značení, například ℕ⁺ nebo ℤ⁺ pro kladná celá čísla a ℕ₀ pro nezáporná celá čísla.

📜 Historie a vývoj pojmu

Koncept přirozených čísel je starý jako lidstvo samo. Nejstarší civilizace potřebovaly způsob, jak počítat dobytek, členy kmene nebo dny mezi událostmi. Původně se používaly jednoduché metody, jako jsou zářezy na kostech nebo kamínky. Tyto rané systémy představovaly korespondenci jedna ku jedné mezi počítanými objekty a symboly.

Starověké civilizace jako Egypťané nebo Římané již měly rozvinuté číselné soustavy, ale jejich pojetí čísel bylo stále silně vázáno na konkrétní objekty. Dlouhou dobu nebyla nula považována za číslo, protože nepředstavovala žádný počet. Koncept nuly jako plnohodnotného čísla se objevil až v Indii kolem 7. století našeho letopočtu a do Evropy se dostal díky arabským matematikům.

Formální a axiomatická definice přirozených čísel přišla až v 19. století. Matematikové jako Richard Dedekind a Giuseppe Peano se snažili postavit aritmetiku na pevné logické základy. Vrcholem tohoto úsilí byly tzv. Peanovy axiomy, které definují přirozená čísla a jejich vlastnosti nezávisle na intuici. Slavný výrok Leopolda Kroneckera "Bůh stvořil přirozená čísla, vše ostatní je dílem člověka" ilustruje fundamentální postavení těchto čísel v matematice.

➕ Definice a značení

Jak bylo zmíněno v úvodu, definice přirozených čísel není zcela jednotná. Rozdíl spočívá v zahrnutí či nezahrnutí nuly.

Dvě hlavní konvence

ℕ = {1, 2, 3, ...}: Množina kladných celých čísel. Tato definice odpovídá intuitivnímu chápání "počítání" věcí, kde se začíná od jedné.
ℕ = {0, 1, 2, ...}: Množina nezáporných celých čísel. Tato definice je výhodnější pro formální matematiku, zejména v teorii množin, kde nula odpovídá prázdné množině (množině bez prvků).

Pro zamezení nejasností se používá explicitní značení:

ℕ⁺, ℕ₁, ℤ⁺: Množina přirozených čísel bez nuly.
ℕ₀, ℕ⁰: Množina přirozených čísel s nulou.

V tomto článku, pokud není uvedeno jinak, budeme uvažovat konvenci s nulou (ℕ = {0, 1, 2, ...}).

Formální definice

Moderní matematika definuje přirozená čísla axiomaticky, aby se předešlo závislosti na neformální intuici.

Peanovy axiomy

Italský matematik Giuseppe Peano v roce 1889 formuloval pět axiomů, které definují vlastnosti přirozených čísel. Množina ℕ je množinou přirozených čísel, pokud existuje prvek 0 ∈ ℕ a funkce následníka S (S(n) = n+1), které splňují:

0 je přirozené číslo.
Každé přirozené číslo n má svého následníka S(n), který je také přirozeným číslem.
Neexistuje žádné přirozené číslo, jehož následníkem by byla 0. (Nula je první.)
Různá přirozená čísla mají různé následníky. (Pokud S(m) = S(n), pak m = n.)
Axiom indukce: Pokud nějaká vlastnost platí pro 0 a pokud z její platnosti pro n plyne její platnost i pro následníka S(n), pak tato vlastnost platí pro všechna přirozená čísla.

Konstrukce v teorii množin

V teorii množin se přirozená čísla konstruují pomocí množin. Nejběžnější je von Neumannova konstrukce:

0 := ∅ (prázdná množina)
1 := {0} = {∅}
2 := {0, 1} = {∅, {∅}}
3 := {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
...
n+1 := n ∪ {n}

Každé přirozené číslo je tedy definováno jako množina všech předchozích přirozených čísel. Tato konstrukce elegantně splňuje Peanovy axiomy.

⚙️ Vlastnosti přirozených čísel

Množina přirozených čísel má řadu klíčových vlastností.

Algebraické vlastnosti

Pro operace sčítání (+) a násobení (·) na množině ℕ platí:

Uzavřenost: Součet i součin dvou přirozených čísel je opět přirozené číslo.
Asociativita: (a + b) + c = a + (b + c) a (a · b) · c = a · (b · c).
Komutativita: a + b = b + a a a · b = b · a.
Distributivita: a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
Existence neutrálních prvků: 0 pro sčítání (a + 0 = a) a 1 pro násobení (a · 1 = a).

Struktura (ℕ, +) a (ℕ, ·) tvoří komutativní monoidy. Přirozená čísla však netvoří grupu, protože neexistují inverzní prvky pro sčítání (např. neexistuje přirozené číslo x takové, že 5 + x = 0).

Vlastnosti uspořádání

Přirozená čísla jsou lineárně uspořádána standardní relací "menší nebo rovno" (≤). Toto uspořádání má navíc klíčovou vlastnost:

Dobré uspořádání: Každá neprázdná podmnožina přirozených čísel má nejmenší prvek. Tato vlastnost je ekvivalentní principu matematické indukce.

Dělitelnost

V teorii čísel je klíčový pojem dělitelnost.

Prvočíslo: Přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze jedničkou a samo sebou. (např. 2, 3, 5, 7, 11, ...)
Složené číslo: Přirozené číslo větší než 1, které není prvočíslem.
Základní věta aritmetiky: Každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně (až na pořadí činitelů) rozložit na součin prvočísel.

🧮 Operace s přirozenými čísly

Základní aritmetické operace jsou na přirozených číslech definovány následovně:

Sčítání: Lze definovat rekurzivně pomocí funkce následníka: a + 0 = a; a + S(b) = S(a + b).
Násobení: Lze definovat rekurzivně pomocí sčítání: a · 0 = 0; a · S(b) = a · b + a.

Operace odčítání a dělení nejsou na množině přirozených čísel uzavřené. Výsledek a - b je přirozené číslo pouze pokud a ≥ b, a výsledek a / b je přirozené číslo pouze pokud b je dělitelem a. Potřeba provádět tyto operace bez omezení vedla k zavedení celých čísel (ℤ) a racionálních čísel (ℚ).

🌍 Význam a použití

Přirozená čísla jsou základním kamenem celé matematiky a mají široké uplatnění.

Počítání a měření: Jejich nejzákladnější funkcí je určení počtu prvků v konečné množině.
Kardinalita a Ordinalita: Slouží jako kardinální čísla (odpověď na otázku "kolik?") a ordinální čísla (odpověď na otázku "kolikátý?").
Informatika: V informatice jsou přirozená čísla (obvykle včetně nuly) základem pro datové typy jako integer nebo unsigned integer. Používají se pro indexování polí, v cyklech a pro reprezentaci dat.
Základy matematiky: Slouží jako výchozí bod pro konstrukci dalších číselných oborů: celých, racionálních, reálných i komplexních.

🤓 Pro laiky

Představte si přirozená čísla jako schody na nekonečném schodišti, které vede pouze nahoru.

Jsou to čísla, která používáte každý den k počítání: 1 jablko, 2 auta, 3 kamarádi.
Začínají buď jedničkou (když počítáte věci), nebo nulou (když třeba programátor počítá pozice v seznamu, kde první pozice je často označena jako nultá).
Na tomto schodišti můžete jít vždy o schod výš (ke každému číslu existuje další, o jedna větší), ale nemůžete jít "mezi schody" (tam by byla desetinná čísla) ani "pod první schod" (tam by byla záporná čísla).
Jsou to nejjednodušší a nejzákladnější stavební kameny celé matematiky, podobně jako jsou cihly základem pro stavbu domu.

Šablona:Aktualizováno