Složené číslo

Rozbalit box

Obsah boxu

Složené číslo je v matematice jakékoliv přirozené číslo větší než 1, které není prvočíslo. To znamená, že má alespoň jednoho dělitele kromě čísla 1 a sebe sama. Ekvivalentní definice říká, že složené číslo je takové přirozené číslo n, které lze zapsat jako součin dvou menších přirozených čísel a a b, tedy n = a × b, kde 1 < a, b < n.

Číslo 1 není považováno ani za prvočíslo, ani za složené číslo. Všechna přirozená čísla větší než 1 tak spadají právě do jedné z těchto dvou kategorií: buď jsou prvočísly, nebo složenými čísly.

📜 Definice a vlastnosti

Formálně řečeno, přirozené číslo n > 1 je složené, pokud existují celá čísla a, b taková, že platí:

• 1 < a < n
• 1 < b < n
• n = a × b

Z této definice vyplývají klíčové vlastnosti složených čísel:

• Nejmenší složené číslo je 4, protože 4 = 2 × 2.
• Počet dělitelů: Každé složené číslo má minimálně tři různé dělitele: číslo 1, samo sebe a alespoň jednoho dalšího dělitele. Například číslo 9 má dělitele 1, 3 a 9.
• Sudá čísla: Všechna sudá čísla větší než 2 jsou složená, protože jsou dělitelná číslem 2.
• Nekonečnost: Existuje nekonečně mnoho složených čísel. To je přímý důsledek existence nekonečně mnoha sudých čísel.
• Základní věta aritmetiky: Každé složené číslo lze jednoznačně (až na pořadí činitelů) rozložit na součin prvočísel. Tento rozklad je pro každé číslo unikátní. Například 12 = 2 × 2 × 3.

💡 Příklady

Prvních několik složených čísel je: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, ...

Příklady rozkladu na menší činitele:

• 4 = 2 × 2
• 6 = 2 × 3
• 8 = 2 × 4
• 9 = 3 × 3
• 15 = 3 × 5
• 25 = 5 × 5
• 100 = 10 × 10 = 2 × 50 = 4 × 25 = 5 × 20

⚙️ Typy složených čísel

Složená čísla lze dále klasifikovat do různých podskupin na základě jejich vlastností nebo tvaru jejich prvočíselného rozkladu.

Lichá složená čísla

Jsou to složená čísla, která nejsou dělitelná dvěma. Vznikají jako součin dvou nebo více lichých prvočísel. Nejmenším lichým složeným číslem je 9 (3 × 3). Dalšími příklady jsou 15 (3 × 5), 21 (3 × 7), 25 (5 × 5), 27 (3 × 3 × 3).

Poloprvočísla

Poloprvočíslo je složené číslo, které je součinem právě dvou (ne nutně různých) prvočísel. Hrají klíčovou roli v kryptografii.

• Příklady: 6 (2 × 3), 9 (3 × 3), 10 (2 × 5), 14 (2 × 7), 77 (7 × 11).

Vysoce složená čísla

Vysoce složené číslo je takové přirozené číslo, které má více dělitelů než jakékoliv menší přirozené číslo. Ačkoliv prvními vysoce složenými čísly jsou i prvočísla (1, 2), většina z nich je složená.

• Příklady: 4 (3 dělitelé), 6 (4 dělitelé), 12 (6 dělitelů), 24 (8 dělitelů), 36 (9 dělitelů), 60 (12 dělitelů).

Carmichaelova čísla

Jedná se o speciální typ složených čísel, která se "tváří" jako prvočísla při testování pomocí Malé Fermatovy věty. Jsou to složená čísla n, pro která platí kongruence bⁿ⁻¹ ≡ 1 (mod n) pro všechna celá čísla b, která jsou s n nesoudělná. Nejmenší takové číslo je 561.

🔄 Vztah k prvočíslům

Složená čísla a prvočísla tvoří dva disjunktní (nepřekrývající se) soubory, které společně s číslem 1 pokrývají všechna přirozená čísla.

• Doplněk: Množina složených čísel je doplňkem množiny prvočísel v množině přirozených čísel větších než 1.
• Identifikace: Jedním ze způsobů, jak najít prvočísla, je systematicky eliminovat složená čísla. Tento princip využívá například Eratosthenovo síto.
• Stavební kameny: Podle základní věty aritmetiky jsou prvočísla "stavebními kameny", ze kterých jsou všechna složená čísla "postavena" pomocí násobení.

🧩 Prvočíselný rozklad

Každé složené číslo lze jednoznačně vyjádřit jako součin prvočísel. Tento proces se nazývá prvočíselný rozklad nebo též faktorizace. Například pro číslo 90: 1. Najdeme nejmenšího prvočíselného dělitele: 90 je sudé, takže je dělitelné 2.

  90 = 2 × 45

2. Pokračujeme s výsledkem (45). Není dělitelné 2, zkusíme další prvočíslo, 3. Ciferný součet 4+5=9 je dělitelný 3, takže 45 je dělitelné 3.

  45 = 3 × 15

3. Pokračujeme s 15. Je opět dělitelné 3.

  15 = 3 × 5

4. Číslo 5 je prvočíslo, takže rozklad končí.

Výsledný prvočíselný rozklad čísla 90 je: 90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3² × 5.

Pro velká čísla je nalezení prvočíselného rozkladu výpočetně velmi náročná úloha.

🔧 Využití

Koncept složených čísel, a zejména obtížnost jejich faktorizace, má zásadní význam v moderních technologiích.

• Kryptografie: Mnoho moderních šifrovacích systémů s veřejným klíčem, jako je například RSA, zakládá svou bezpečnost na faktu, že je velmi snadné vynásobit dvě velká prvočísla (a získat tak velké složené číslo – poloprvočíslo), ale extrémně obtížné provést opačnou operaci – tedy rozložit toto velké složené číslo zpět na původní prvočíselné činitele.
• Teorie čísel: Studium vlastností složených čísel je ústředním tématem teorie čísel.
• Informatika: Vývoj efektivních algoritmů pro faktorizaci je důležitou oblastí výzkumu v teoretické informatice a má přímé dopady na bezpečnost v kybernetickém prostoru.

🤔 Pro laiky

Představte si čísla jako stavebnici Lego.

• Prvočísla (jako 2, 3, 5, 7, ...) jsou základní, nejmenší kostičky, které už nelze rozebrat na menší díly (kromě triviálního rozebrání na sebe a jedničku). Jsou to "atomy" světa čísel.
• Složená čísla (jako 4, 6, 8, 9, ...) jsou všechny stavby, které si z těchto základních kostiček můžete postavit.

Například:

• Číslo 6 je složené, protože ho můžete postavit spojením kostičky o velikosti 2 a kostičky o velikosti 3 (2 × 3).
• Číslo 9 je složené, protože ho postavíte spojením dvou kostiček o velikosti 3 (3 × 3).
• Číslo 7 je naopak prvočíslo, protože ho nelze postavit z žádných menších kostiček (kromě 7 × 1). Je to základní, nedělitelný díl.

Každé složené číslo je tedy jen "složenina" z několika prvočíselných kostiček.

Šablona:Aktualizováno