1729

Rozbalit box

Obsah boxu

Šablona:Infobox číslo 1729 (tisíc sedm set dvacet devět) je přirozené číslo, které následuje po číslu 1728 a předchází číslu 1730. V matematice je známé především jako Hardyho-Ramanujanovo číslo. Jde o nejmenší přirozené číslo, které lze vyjádřit jako součet dvou kladných krychlí (třetích mocnin) dvěma různými způsoby. Kromě této slavné vlastnosti je číslo 1729 také Carmichaelovým číslem a Harshadovým číslem.

📜 Historie a anekdota

Největší slávu číslu 1729 přinesla anekdota spojená s britským matematikem G. H. Hardym a indickým matematickým géniem Srinivasou Ramanujanem. Když Hardy navštívil Ramanujana, který ležel nemocný v nemocnici v Putney (část Londýna), zmínil se, že přijel taxíkem s číslem 1729 a poznamenal: "Zdá se, že je to poněkud nezajímavé číslo. Doufám, že to není špatné znamení."

Ramanujan, údajně bez zaváhání, odpověděl: "Ne, Hardy! Je to velmi zajímavé číslo. Je to nejmenší číslo vyjádřitelné jako součet dvou krychlí dvěma různými způsoby."

Tento okamžitý vhled do vlastností čísel ilustruje Ramanujanovu mimořádnou intuici a hluboké znalosti v teorii čísel.

Matematicky lze tuto vlastnost zapsat jako:

$1729=1^3+12^3=9^3+10^3$

Výpočty:

• $1^3+12^3=1+1728=1729$
• $9^3+10^3=729+1000=1729$

Ačkoliv je tato vlastnost spojována s Ramanujanem, byla objevena již dříve. Francouzský matematik Bernard Frénicle de Bessy ji popsal již v roce 1657. Ramanujanův přínos spočívá v jeho nezávislém objevu a především v bleskovém rozpoznání této vlastnosti, což z anekdoty učinilo legendu.

🔢 Matematické vlastnosti

Číslo 1729 má kromě své nejznámější vlastnosti i řadu dalších zajímavých charakteristik.

🚕 Číslo taxíku (Taxicab number)

Čísla, která lze vyjádřit jako součet dvou kladných krychlí *n* různými způsoby, se nazývají čísla taxíku (anglicky taxicab numbers), označovaná jako Ta(*n*) nebo Tx(*n*).

• 1729 je druhé číslo taxíku, tedy Ta(2).
• První číslo taxíku, Ta(1), je triviálně číslo 2, protože $2=1^3+1^3$.
• Třetí číslo taxíku, Ta(3), je podstatně větší: $87539319=167^3+436^3=228^3+423^3=255^3+414^3$.

📜 Carmichaelovo číslo

1729 je třetím a nejmenším lichým Carmichaelovým číslem. Carmichaelova čísla jsou složená čísla *n*, která splňují podmínku kongruence $b^{n-1}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ pro všechna celá čísla *b*, která jsou s *n* nesoudělná. Tím se "tváří" jako prvočíslo ve smyslu Malé Fermatovy věty, a proto se jim také říká Fermatova pseudoprvočísla. První tři Carmichaelova čísla jsou:

1. 561 = 3 × 11 × 17
2. 1105 = 5 × 13 × 17
3. 1729 = 7 × 13 × 19

➕ Další vlastnosti

• Rozklad na prvočísla: $1729=7\times 13\times 19$. Jedná se tedy o sfénické číslo. Zajímavostí je, že jeho prvočíselní dělitelé (7, 13, 19) tvoří aritmetickou posloupnost s diferencí 6.
• Harshadovo číslo: 1729 je Harshadovo číslo (neboli Nivenovo číslo) v desítkové soustavě, protože je dělitelné součtem svých číslic.
  • Součet číslic: $1+7+2+9=19$
  • Dělení: $1729/19=91$
• Zeiselovo číslo: Je to Zeiselovo číslo, což je složené bezčtvercové číslo *k* s alespoň třemi prvočíselnými faktory $p_1,p_2,...,p_n$, které splňují vztah $p_i=a\cdot p_{i-1}+b$ pro nějaké konstanty *a* a *b*. Pro 1729 a jeho faktory 7, 13, 19 platí:
  • $13=1\cdot 7+6$
  • $19=1\cdot 13+6$

(Zde je *a* = 1 a *b* = 6).

• Zápis v jiných soustavách: Ve dvanáctkové soustavě se 1729 zapíše jako 1001₁₂, což je palindrom. V šestatřicítkové soustavě je jeho zápis 1C₃₆.
• Středový kubický počet: 1729 je také středový kubický počet, který lze vyjádřit vzorcem $n^3+(n-1{)}^3$. Pro n=9: $9^3+(9-1{)}^3=9^3+8^3=729+512=1241$. Toto neplatí. Správný vzorec je $n^3+(n+1{)}^3$. Pro n=8: $8^3+9^3=512+729=1241$. Ani toto neplatí. Správný vzorec pro středový kubický počet je $(n+1{)}^3-n^3$ nebo $n^3+(n-1{)}^3$. Pro 1729 to neplatí. Je to však součet dvou po sobě jdoucích krychlí: $9^3+10^3$.

💡 Pro laiky

Představte si, že každé číslo má svou vlastní "osobnost" nebo příběh. Číslo 1729 je v matematice slavné jako filmová hvězda, a to díky jednomu krátkému rozhovoru.

• Co je to "krychle"?

Když číslo vynásobíte dvakrát samo sebou, získáte jeho krychli (nebo třetí mocninu). Například krychle čísla 2 je $2\times 2\times 2=8$. Krychle čísla 10 je $10\times 10\times 10=1000$.

• Příběh čísla 1729

Matematik Ramanujan okamžitě věděl, že 1729 je nejmenší číslo, které můžete získat sečtením dvou takových krychlí, a to hned dvěma různými způsoby:

1. Způsob 1: Vezměte krychli čísla 1 (což je 1) a krychli čísla 12 (což je 1728). Sečtěte je: $1+1728=1729$.
2. Způsob 2: Vezměte krychli čísla 9 (což je 729) a krychli čísla 10 (což je 1000). Sečtěte je: $729+1000=1729$.

Žádné menší číslo tuto vlastnost nemá. Právě proto je 1729 tak výjimečné.

• Číslo jako "podvodník"

1729 je také Carmichaelovo číslo. To znamená, že i když není prvočíslo (dá se dělit čísly 7, 13 a 19), v jednom důležitém matematickém testu se jako prvočíslo tváří. Je to takový matematický "herec", který dokonale hraje roli něčeho, čím ve skutečnosti není.

🌍 Vliv v kultuře

Díky slavné anekdotě se číslo 1729 stalo oblíbeným "easter eggem" (skrytým odkazem) v populární kultuře, zejména v dílech s vědeckou nebo matematickou tematikou.

• Futurama: V populárním animovaném seriálu je 1729 výrobní číslo robota Bendera. Objevuje se také na poznávací značce taxíku v několika epizodách.
• Simpsonovi: Číslo se objevilo v několika epizodách, často v pozadí na tabulích nebo v matematických rovnicích.
• Filmy a knihy: Odkazy na číslo 1729 se objevují v mnoha knihách a filmech, například ve filmu Muž, který poznal nekonečno (The Man Who Knew Infinity), který pojednává o životě Srinivasy Ramanujana, nebo ve filmu Důkaz.
• Programování: V komunitě programátorů a matematiků je číslo 1729 často používáno jako příkladová hodnota v kódu nebo v technických dokumentacích.

Šablona:Aktualizováno