Proměnná (matematika)

Rozbalit box

Obsah boxu

Šablona:Infobox Matematika V matematice je proměnná symbol (nejčastěji písmeno, jako $x$, $y$, $z$, $a$, $b$, $c$ atd.), který reprezentuje hodnotu, jež se může měnit, je neznámá, nebo je to symbolické označení pro libovolný prvek z určité množiny hodnot. Proměnné se používají k vyjádření obecných vztahů, rovnic, funkcí a nerovnic.

---

Účel a použití proměnných

Hlavním účelem proměnných je umožnit matematikům a vědcům pracovat s obecnými vztahy a problémy, aniž by museli specifikovat konkrétní číselné hodnoty. Mezi klíčová použití patří:

Zobecnění: Proměnné umožňují vyjádřit obecné zákony nebo pravidla. Například v rovnici pro obvod kruhu $O = 2\pi r$, proměnná $r$ (poloměr) představuje libovolný poloměr, což dělá vzorec aplikovatelným na jakýkoli kruh.
Řešení neznámých: V rovnicích proměnné často představují neznámé hodnoty, které je třeba zjistit. Například v rovnici $x + 5 = 10$ je $x$ neznámá proměnná, jejíž hodnota je $5$.
Vyjádření funkcí: Proměnné se používají k definování funkčních vztahů, kde hodnota jedné proměnné závisí na hodnotě jiné. Například ve funkci $f(x) = x^2$ je $x$ proměnná, jejíž hodnota určuje hodnotu $f(x)$.
Matematické modelování: Ve vědě a inženýrství se proměnné používají k reprezentaci různých fyzikálních veličin (např. čas, teplota, rychlost, tlak) v matematických modelech, které popisují reálné jevy.

---

Typy proměnných

V závislosti na kontextu a roli v matematickém výrazu nebo funkci rozlišujeme několik typů proměnných:

Nezávislá proměnná (argument): Proměnná, jejíž hodnotu můžeme volně měnit, a její změna ovlivňuje hodnotu jiné proměnné. V funkci $y = f(x)$, je $x$ nezávislá proměnná.
Závislá proměnná: Proměnná, jejíž hodnota je určena hodnotou nezávislé proměnné (nebo proměnných). V funkci $y = f(x)$, je $y$ (nebo $f(x)$) závislá proměnná.
Volná proměnná: Proměnná ve výrazu nebo funkci, která není svázána žádným operátorem (např. sumačním znaménkem, integrálem nebo kvantifikátorem). Její hodnota není pevně dána v rámci daného kontextu.
Vázaná proměnná (dummy variable): Proměnná, jejíž hodnota je svázána nějakým operátorem a její smysl je omezen na daný kontext. Například v sumě $\sum_{i=1}^{n} i^2$ je $i$ vázaná proměnná; její hodnota se mění od 1 do $n$, ale mimo tuto sumu nemá samostatný význam. Podobně v integrálu $\int_a^b f(x) dx$ je $x$ vázaná proměnná.
Náhodná proměnná (ve statistice a teorii pravděpodobnosti): Proměnná, jejíž hodnota je výsledkem náhodného jevu. Její hodnota není známa před pozorováním a je popsána rozdělením pravděpodobnosti.

---

Proměnná vs. Konstanta vs. Parametr

Je důležité rozlišovat mezi proměnnými, konstantami a parametry:

Proměnná: Symbol, který může nabývat různých hodnot v rámci daného problému nebo kontextu. Její hodnota se mění.
Konstanta: Symbol, který reprezentuje pevnou, neměnnou hodnotu. Například číslo $\pi$ (Ludolfovo číslo) je konstanta.
Parametr: Symbol, který je pro daný konkrétní případ pevně daný, ale v obecném smyslu se může měnit a ovlivňovat chování systému. Například v funkci $y = ax + b$ jsou $a$ a $b$ parametry, které určují sklon a posun přímky. Pro jednu konkrétní přímku jsou $a$ a $b$ konstanty, ale pokud studujeme všechny přímky, pak se $a$ a $b$ stávají parametry, které charakterizují různé přímky.

---

Proměnná pro laiky

Představte si, že máte recept na dort. V tom receptu se říká: "Na 1 dort potřebujete $X$ šálků mouky".

To $X$ je v tomto případě proměnná.

Proč? Protože to $X$ může být různé číslo. Jestli chcete velký dort, $X$ bude třeba 3. Jestli malý, $X$ bude 1. To $X$ se tedy mění podle toho, jak velký dort chcete.
Proměnné jsou v matematice jako zástupná čísla nebo místa pro hodnoty, které se mohou měnit nebo které zatím neznáme. Místo abychom psali "3 šálky mouky" nebo "1 šálek mouky", napíšeme $X$, a tím ukážeme, že se to může lišit.

Nejčastěji se používají písmena jako $x$, $y$, $z$. Například když řešíte hádanku "$x + 2 = 5$", to $x$ je proměnná – neznámé číslo, které hledáte (v tomto případě 3).

---

Viz také

---

Odkazy

Britannica – Variable (mathematics) (anglicky)
Maths Is Fun – Variables, Constants and Terms (anglicky)
Khan Academy – Variables, expressions, and equations (anglicky)
Wikipedia – Proměnná (matematika) (česky)