Dvojková soustava

Rozbalit box

Obsah boxu

Dvojková soustava (též binární soustava) je poziční číselná soustava se základem 2. To znamená, že k zápisu čísla používá pouze dvě číslice, nejčastěji 0 a 1. Díky své jednoduchosti a přímé implementaci v elektronických obvodech (kde 0 a 1 reprezentují dva různé stavy, například nízké a vysoké napětí) tvoří základ fungování prakticky všech moderních digitálních počítačů a dalších elektronických zařízení. Jedna číslice v dvojkové soustavě se nazývá bit, což je základní jednotka informace.

📜 Historie

Ačkoliv je moderní dvojková soustava spojována především s Gottfriedem Leibnizem, její principy lze nalézt v různých kulturách tisíce let zpět.

🏛️ Dávné systémy

Nejstarší známé použití systému založeného na dvou stavech pochází ze starověké Číny. Klasický text I-ťing (Kniha proměn), jehož vznik se datuje do 9. století př. n. l., používá systém 64 hexagramů, které jsou kombinacemi přerušovaných (jin) a plných (jang) čar. Pokud bychom přerušovanou čáru reprezentovali jako 0 a plnou jako 1, každý hexagram odpovídá šestimístnému binárnímu číslu (od 000000 do 111111).

Podobné binární kombinace byly známy i v jiných kulturách. Například indický učenec Pingala (kolem 2. století př. n. l.) ve svém díle o prózodii popsal systém založený na krátkých a dlouhých slabikách, který odpovídá binárnímu zápisu čísel.

✒️ Formalizace Gottfriedem Leibnizem

Evropským otcem dvojkové soustavy je německý matematik a filozof Gottfried Wilhelm Leibniz. V roce 1689 publikoval článek Explication de l'Arithmétique Binaire, ve kterém podrobně popsal principy dvojkové soustavy, včetně sčítání, odčítání, násobení a dělení. Leibniz byl fascinován její elegancí a viděl v ní hluboký metafyzický význam, kdy 1 symbolizovala Boha a 0 nicotu. Věřil, že z těchto dvou symbolů lze stvořit vše, podobně jako Bůh stvořil vesmír z ničeho.

⚙️ Moderní éra a počítače

Skutečný praktický význam získala dvojková soustava až ve 20. století s nástupem elektroniky a počítačů.

**George Boole**: V roce 1854 publikoval britský matematik George Boole své dílo, které položilo základy Booleovy algebry. Tato algebra pracuje s logickými hodnotami pravda (true) a nepravda (false), které lze snadno reprezentovat číslicemi 1 a 0.
**Claude Shannon**: Americký matematik a inženýr Claude Shannon ve své přelomové diplomové práci z roku 1937 ukázal, že principy Booleovy algebry lze aplikovat na reléové a spínací obvody. Tím prokázal, že elektronické obvody mohou řešit složité logické problémy, a položil tak teoretický základ pro návrh digitálních počítačů.
**První počítače**: Počítače jako Z1 (Konrad Zuse, 1938) nebo Atanasoff–Berry Computer (1942) již plně využívaly dvojkovou soustavu pro reprezentaci dat i pro provádění výpočtů.

Od té doby je dvojková soustava neoddělitelně spjata s informačními technologiemi.

⚙️ Princip a zápis

Dvojková soustava je poziční soustava, což znamená, že hodnota každé číslice závisí na její pozici v čísle. Zatímco v desítkové soustavě (základ 10) představují pozice mocniny deseti (jednotky 10⁰, desítky 10¹, stovky 10² atd.), ve dvojkové soustavě představují pozice mocniny dvou (2⁰, 2¹, 2², 2³ atd.).

Číslo se ve dvojkové soustavě zapisuje jako posloupnost nul a jedniček. Pro odlišení od desítkové soustavy se k binárnímu číslu často přidává dolní index 2 (např. 1011₂) nebo písmeno "b" (např. 1011b).

Příklad rozkladu binárního čísla 1101₂: $110 1_{2} = 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$ $110 1_{2} = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1$ $110 1_{2} = 8 + 4 + 0 + 1 = 1 3_{10}$

Číslo 1101₂ ve dvojkové soustavě tedy odpovídá číslu 13 v desítkové soustavě.

🔢 Zlomková část

Podobně jako v desítkové soustavě lze i ve dvojkové zapisovat necelá čísla. Pozice napravo od desetinné (respektive dvojkové) čárky odpovídají záporným mocninám základu 2 (2⁻¹, 2⁻², 2⁻³ atd.).

Příklad rozkladu binárního čísla 101.11₂: $101.1 1_{2} = 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} + 1 \cdot 2^{- 1} + 1 \cdot 2^{- 2}$ $101.1 1_{2} = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.25$ $101.1 1_{2} = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 = 5.7 5_{10}$

🔄 Převody mezi soustavami

Schopnost převádět čísla mezi dvojkovou a desítkovou soustavou je klíčová pro pochopení práce počítačů.

Z desítkové do dvojkové soustavy

Celé číslo se převádí postupným dělením dvěma a zapisováním zbytků. 1. Vydělte desítkové číslo dvěma. 2. Zapište si zbytek po dělení (bude to vždy 0 nebo 1). 3. Výsledek dělení (celou část) použijte v dalším kroku. 4. Opakujte kroky 1-3, dokud výsledek dělení není 0. 5. Binární číslo získáte seřazením zapsaných zbytků od posledního k prvnímu.

Příklad: Převod čísla 25₁₀ na binární tvar

25 / 2 = 12, zbytek 1
12 / 2 = 6, zbytek 0
6 / 2 = 3, zbytek 0
3 / 2 = 1, zbytek 1
1 / 2 = 0, zbytek 1

Výsledné binární číslo (čteno odspodu nahoru) je 11001₂.

Z dvojkové do desítkové soustavy

Převod se provádí sečtením mocnin dvou na pozicích, kde se v binárním čísle nachází číslice 1. Tento postup byl již ukázán v sekci "Princip a zápis".

Příklad: Převod čísla 10110₂ na desítkový tvar $1011 0_{2} = 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}$ $1011 0_{2} = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 2 2_{10}$

Vztah k osmičkové a šestnáctkové soustavě

Osmičková soustava (oktalová, základ 8) a šestnáctková soustava (hexadecimální, základ 16) mají k dvojkové soustavě velmi blízko, protože jejich základy jsou mocninami dvou (8 = 2³, 16 = 2⁴). Převody mezi těmito soustavami jsou proto velmi jednoduché.

**Dvojková → Osmičková**: Binární číslo se rozdělí na skupiny po třech bitech (od desetinné čárky) a každá trojice se převede na jednu osmičkovou číslici.

   *   Příklad: 10111001₂ → (010)(111)(001)₂ → 271₈

**Dvojková → Šestnáctková**: Binární číslo se rozdělí na skupiny po čtyřech bitech a každá čtveřice se převede na jednu šestnáctkovou číslici (0-9, A-F).

   *   Příklad: 10111001₂ → (1011)(1001)₂ → B9₁₆

Tento jednoduchý převod je důvodem, proč se šestnáctková soustava často používá jako zkrácený a pro člověka čitelnější zápis dlouhých binárních čísel (např. v programování, při zápisu MAC adres nebo barev v HTML).

➕ Aritmetické operace

Aritmetické operace ve dvojkové soustavě se řídí stejnými principy jako v desítkové, ale jsou výrazně jednodušší, protože pracují pouze se dvěma číslicemi.

Sčítání

Základní pravidla pro sčítání:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 (a přenos 1 do vyššího řádu)

Příklad: 1011₂ + 1101₂ ```

  111  (přenosy)
  1011

+ 1101

``` (11₁₀ + 13₁₀ = 24₁₀)

Odčítání

Odčítání se v počítačích obvykle neprovádí přímo, ale převádí se na sčítání s využitím tzv. dvojkového doplňku, který slouží k reprezentaci záporných čísel.

Násobení

Násobení je také velmi jednoduché:

0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1

Binární násobení se podobá desítkovému, ale spočívá pouze v posouvání a sčítání.

Příklad: 101₂ × 11₂ ```

   101  (5₁₀)

× 11 (3₁₀)

   101
  101

  1111  (15₁₀)

```

💻 Použití v informatice a elektronice

Dvojková soustava je základním kamenem moderních technologií.

**Reprezentace dat**: Všechna data v počítači – čísla, text (ASCII, Unicode), obrázky, zvuky – jsou v konečném důsledku uložena jako sekvence nul a jedniček.
**Logické obvody**: Základní stavební prvky procesorů, tzv. logické členy (AND, OR, NOT atd.), pracují s binárními signály. Stav "zapnuto" (vysoké napětí) odpovídá 1, stav "vypnuto" (nízké napětí) odpovídá 0.
**Adresace paměti**: Každá buňka v operační paměti má unikátní adresu, která je vyjádřena jako binární číslo.
**Síťová komunikace**: Data přenášená po sítích, například v rámci TCP/IP, jsou kódována binárně. IP adresy jsou také binární čísla (obvykle zapisovaná pro přehlednost desítkově nebo šestnáctkově).
**Jednotky informace**: Základní jednotkou je bit (binary digit). Osm bitů tvoří bajt (byte), který může reprezentovat 2⁸ = 256 různých hodnot. Větší jednotky jako kilobajt (KB), megabajt (MB) nebo gigabajt (GB) jsou odvozeny od bajtu.

💡 Pro laiky: Jak funguje dvojková soustava?

Představte si řadu vypínačů světla. Každý vypínač může být buď v poloze VYPNUTO (což si označíme jako 0) nebo ZAPNUTO (což si označíme jako 1).

Když máme jen jeden vypínač, můžeme vyjádřit dva stavy: 0 (vypnuto) a 1 (zapnuto).
Když přidáme druhý vypínač, máme už čtyři možné kombinace:

   *   00 (oba vypnuté)
   *   01 (první vypnutý, druhý zapnutý)
   *   10 (první zapnutý, druhý vypnutý)
   *   11 (oba zapnuté)

S třemi vypínači máme již osm kombinací (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111).

Počítač funguje na velmi podobném principu. Místo vypínačů má miliardy miniaturních tranzistorů, které se mohou buď "vypnout" (reprezentují 0) nebo "zapnout" (reprezentují 1). Kombinací těchto nul a jedniček dokáže počítač reprezentovat jakékoliv číslo, písmeno, barvu pixelu na obrazovce nebo zvuk.

Zatímco my lidé jsme zvyklí počítat v desítkové soustavě (protože máme deset prstů), pro elektroniku je mnohem jednodušší a spolehlivější pracovat jen se dvěma stavy. Dvojková soustava je tedy "mateřským jazykem" všech počítačů.

Šablona:Aktualizováno