Sudé číslo

Rozbalit box

Obsah boxu

Sudé číslo je celé číslo, které je dělitelné číslem 2 beze zbytku. Jinými slovy, jedná se o násobek čísla dvě. Množina sudých čísel je v matematice často označována symbolem 2ℤ. Sudost je jednou ze dvou základních forem parity čísel (druhou je lichost).

Definice sudého čísla zahrnuje jak kladná čísla, tak záporná čísla a číslo nula. Formálně lze říci, že celé číslo n je sudé, pokud existuje takové celé číslo k, pro které platí:

n = 2 · k

Příklady sudých čísel jsou: -10, -2, 0, 2, 8, 24, 100 atd. Sudá čísla hrají klíčovou roli nejen v základní aritmetice, ale i v pokročilé teorii čísel, informatice (binární soustava) a v kulturní symbolice.

V současné matematice (k roku 2026) zůstávají některé problémy spojené se sudými čísly nevyřešené, například slavná Goldbachova hypotéza, která tvrdí, že každé sudé číslo větší než 2 lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel.

📝 Definice a vlastnosti

Formální definice

V oboru celých čísel $\mathbb{Z}$ je číslo $n$ sudé právě tehdy, když:

$n \equiv 0 \pmod{2}$

To znamená, že zbytek po dělení číslem 2 je roven nule.

Aritmetické operace

Vlastnosti sudých čísel při základních početních operacích se řídí pravidly aritmetiky modulární třídy 2. Pro libovolná sudá (S) a lichá (L) čísla platí následující pravidla:

Sčítání a odčítání

Sudé + Sudé = Sudé (např. 2 + 4 = 6)
Sudé + Liché = Liché (např. 2 + 3 = 5)
Liché + Liché = Sudé (např. 3 + 3 = 6)

Tato pravidla jsou základem pro kontrolu parity v informatice. Součet jakéhokoli množství sudých čísel je vždy sudý. Aby byl součet s lichými čísly sudý, musí být počet sčítaných lichých čísel sudý.

Násobení

Sudé × Sudé = Sudé (např. 2 × 4 = 8)
Sudé × Liché = Sudé (např. 2 × 3 = 6)
Liché × Liché = Liché (např. 3 × 3 = 9)

Z toho vyplývá, že pokud je v součinu celých čísel alespoň jedno číslo sudé, je celý výsledek sudý.

Dělení

Dělení dvou sudých čísel nemusí nutně vést k sudému číslu (a dokonce ani k celému číslu, pokud se pohybujeme mimo obor celých čísel).

Příklad: 12 / 4 = 3 (výsledek je lichý).
Příklad: 2 / 10 = 0,2 (výsledek není celé číslo).

Nicméně platí, že pokud sudé číslo dělíme lichým číslem (a dělení je beze zbytku), výsledek je vždy sudý.

Číslo Nula

Specifickou otázkou, která laiky často mate, je parita čísla nula. Matematicky je nula jednoznačně sudé číslo. Důvody:

Splňuje definici $n = 2k$, kde $k = 0$ (tedy $0 = 2 \times 0$).
Leží na číselné ose přesně mezi dvěma lichými čísly (-1 a 1).
Splňuje aritmetická pravidla (např. sudé + sudé = sudé; $0 + 2 = 2$).

V normě ISO 80000-2 je nula definována jako sudé číslo.

⏳ Historie a filozofie

Starověké Řecko a Pythagorejci

Již staří Řekové rozlišovali mezi sudými a lichými čísly. Pýthagorás a jeho následovníci (pythagorejci) přisuzovali číslům mystické vlastnosti. V jejich dualistickém vnímání světa byla sudá čísla spojována s:

Ženským principem* Neomezeností (apeiron) – což pro Řeky znamenalo nedokonalost či chaos.
Levou stranou (často vnímanou jako méně šťastnou).

Naopak lichá čísla byla považována za mužská, omezená (tedy dokonalá a pevná) a pravá. Tento pohled vycházel z toho, že liché číslo nelze rozdělit na dvě stejné poloviny bez toho, aby uprostřed nezůstala "jednotka", která drží celek pohromadě, zatímco sudé číslo se "rozpadne" na dvě stejné části a uprostřed je prázdno.

Eukleidés

Eukleidés ve svých Základech (kniha VII, definice 6) definoval sudé číslo jako "číslo, které je měřitelné (dělitelné) dvěma".

🔬 Pokročilá matematika a teorie čísel

Mohutnost množiny sudých čísel

Množina všech sudých čísel $2\mathbb{Z}$ je podmnožinou množiny všech celých čísel $\mathbb{Z}$. Ačkoliv se intuitivně zdá, že sudých čísel musí být "polovina" oproti všem celým číslům, z hlediska teorie množin mají obě množiny stejnou mohutnost (počet prvků). Toto dokázal Georg Cantor v 19. století. Obě množiny jsou nekonečné a spočetné (mohutnost $\aleph_0$). Mezi množinou celých čísel a množinou sudých čísel existuje tzv. bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení): každému celému číslu $k$ lze přiřadit právě jedno sudé číslo $2k$.

1 ↔ 2
2 ↔ 4
3 ↔ 6

... a tak dále do nekonečna. Tento paradox je známý jako Hilbertův hotel.

Dokonalá čísla

Všechna doposud známá dokonalá čísla (čísla, která jsou součtem svých vlastních dělitelů) jsou sudá. Není známo, zda existuje liché dokonalé číslo – toto je jeden z nejstarších nevyřešených problémů matematiky. Vztah mezi sudými dokonalými čísly a Mersennovými prvočísly popisuje Eukleidův-Eulerův teorém.

Goldbachova hypotéza

Goldbachova hypotéza z roku 1742 je jedním z nejslavnějších a nejdéle otevřených problémů v matematice.

Znění: "Každé sudé číslo větší než 2 lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel."
Příklady: $4 = 2+2$, $10 = 3+7$, $100 = 3+97$.

Do roku 2026 nebyla hypotéza analyticky dokázána pro všechna čísla, ačkoliv byla výpočetně ověřena pro čísla do řádu $4 \times 10^{18}$.

💻 Informatika a binární systém

V informatice a digitální logice je rozlišení sudosti a lichosti (parita) naprosto fundamentální. Počítače pracují ve dvojkové soustavě (binární), která se skládá z nul a jedniček.

Určení sudosti v kódu

V binárním zápisu je číslo sudé právě tehdy, když je jeho poslední číslice (LSB - Least Significant Bit) rovna **0**.

Příklad (dekadicky 6): `110` (binárně) → končí nulou → sudé.
Příklad (dekadicky 7): `111` (binárně) → končí jedničkou → liché.

Programátorsky se test sudosti provádí nejefektivněji pomocí bitové operace AND (a logického součinu): if (x & 1 == 0) { /* číslo je sudé */ } Tento způsob je rychlejší než použití operace modulo (`x % 2 == 0`).

Paritní bit

Princip sudosti se využívá při kontrole přenosu dat. Tzv. paritní bit je kontrolní bit přidaný k binární zprávě, aby zajistil, že celkový počet jedniček ve zprávě bude vždy sudý (nebo lichý, podle nastavení). Pokud přijímač obdrží data se špatnou paritou, ví, že došlo k chybě při přenosu.

🌍 Kultura, pověry a symbolika

Vnímání sudých čísel se v různých kulturách diametrálně liší.

Květinová etiketa

Ve střední a východní Evropě (včetně Česka, Slovenska, Ruska či Polska) existuje silná tradice týkající se počtu květin v kytici.

Sudý počet:** Rezervován výhradně pro **pohřby a smuteční události. Darovat živému člověku sudý počet květin (např. 10 růží) je považováno za hrubé faux pas a v pověrčivých kruzích dokonce za přivolávání neštěstí.
Lichý počet: Určen pro dary, oslavy a gratulace.

Naopak v západní Evropě (např. USA, Německo, Spojené království) toto pravidlo neplatí a běžně se prodávají tucty (12) růží jako romantické gesto.

Čína a dálný východ

V čínské kultuře jsou sudá čísla obecně považována za šťastná a příznivá (s výjimkou čísla 4, které zní jako "smrt"). Číňané věří, že "dobré věci chodí v párech". Dary se často dávají v sudém počtu, dvojitá šťastná čísla (např. 88) jsou velmi ceněná.

Ruleta a hazard

V hazardních hrách, jako je ruleta, tvoří sázka na "Sudou" (Even/Pair) jednu ze základních sázek s výplatním poměrem 1:1. Zde však vstupuje do hry číslo nula (nebo i dvojitá nula v americké verzi), která v ruletě obvykle nepatří ani k sudým, ani k lichým sázkám (z hlediska výplaty), čímž zajišťuje výhodu kasina (House edge).

🏘️ Využití v reálném životě

Číslování domů

V urbanismu se systém sudých a lichých čísel využívá k orientaci v ulicích. Většina evropských a amerických systémů (včetně českého) používá tzv. cik-cak systém nebo systém stran:

Sudá čísla: Obvykle na jedné straně ulice (často pravé ve směru od centra nebo od začátku ulice).
Lichá čísla: Na protější straně.

Toto uspořádání usnadňuje práci pošťákům a záchranným složkám.

Dopravní regulace

V některých městech s vysokým znečištěním ovzduší (např. Paříž, Peking, Dillí) se v dobách smogu zavádí regulace vjezdu na základě sudosti registrační značky (SPZ). V sudé dny smějí vyjet jen auta se sudou koncovou číslicí a naopak.

Sport

Ve sportu se sudý počet účastníků často preferuje pro snadné vytváření dvojic (pavouk turnaje), aby nikdo nemusel mít v prvním kole volný los (bye).

💡 Pro laiky: Jak poznat sudé číslo "od pohledu"?

Představte si číslo jako hromádku ponožek.

Pokud dokážete všechny ponožky z hromádky spárovat tak, že žádná nezůstane sama, je jejich počet sudý.
Pokud vám jedna ponožka zbyde "na ocet", je číslo liché.

Rychlý trik pro obrovská čísla:Nezáleží na tom, jak je číslo dlouhé (klidně milion cifer). Podívejte se pouze na poslední číslici (tu úplně vpravo).

Pokud je na konci 0, 2, 4, 6, nebo 8** → celé číslo je **SUDÉ.
Pokud je na konci 1, 3, 5, 7, nebo 9** → celé číslo je **LICHÉ.

Příklad: Číslo 1 234 567 892 je sudé, protože končí dvojkou.

📊 Přehledová tabulka parity

Operace	Vstup A	Vstup B	Výsledek
Sčítání	Sudé	Sudé	Sudé
Sčítání	Sudé	Liché	Liché
Sčítání	Liché	Liché	Sudé
Násobení	Sudé	Sudé	Sudé
Násobení	Sudé	Liché	Sudé
Násobení	Liché	Liché	Liché

Zdroje