Směr (geometrie)

Rozbalit box

Obsah boxu

Směr je základní pojem v geometrii a fyzice, který popisuje informaci o poloze jedné entity vůči druhé bez ohledu na jejich vzdálenost. V eukleidovském prostoru je směr intuitivně chápán jako informace, kterou potřebujeme k tomu, abychom se z jednoho bodu dostali k druhému po přímé dráze. Směr je neoddělitelně spjat s pojmy jako vektor, úhel a orientace.

V neformálním jazyce se směr často zaměňuje s orientací (smyslem). V matematice se však tyto pojmy liší. Například dálnice mezi Prahou a Brnem má jeden směr (je definována přímkou spojující obě města), ale dvě protichůdné orientace (smysl jízdy z Prahy do Brna a smysl jízdy z Brna do Prahy).

📐 Definice a vlastnosti

Směr lze matematicky formalizovat několika způsoby v závislosti na kontextu a dimenzi prostoru.

V eukleidovském prostoru

V eukleidovském prostoru (např. v rovině nebo v trojrozměrném prostoru) je směr nejčastěji reprezentován vektorem, konkrétně jednotkovým vektorem.

• Směr jako třída ekvivalence: Směr lze definovat jako třídu ekvivalence všech nenulových vektorů, které jsou navzájem svými kladnými skalárními násobky. To znamená, že vektory (1, 2) a (2, 4) mají stejný směr, protože druhý je dvojnásobkem prvního. Vektor (-1, -2) má sice stejnou "přímku", ale opačnou orientaci (smysl).
• Směr a přímka: Každá přímka v prostoru definuje právě jeden směr. Všechny přímky, které jsou s ní rovnoběžné, sdílejí tento stejný směr.
• Směr a polopřímka: Každá polopřímka definuje jak směr, tak orientaci.

Směr a úhel

V dvourozměrném prostoru (rovině) lze směr jednoznačně popsat pomocí úhlu, který svírá s předem definovanou referenční osou (typicky kladnou poloosou x v kartézské soustavě souřadnic). Tento úhel se nazývá azimut nebo polární úhel.

• V polárních souřadnicích je poloha bodu určena vzdáleností od počátku (r) a úhlem (φ), který představuje směr.
• V trojrozměrném prostoru je situace složitější a k určení směru jsou zapotřebí dva úhly, například azimut a výškový úhel (elevace), jak je tomu u sférických souřadnic.

Směrový vektor

Nejběžnějším a nejužitečnějším nástrojem pro práci se směrem v analytické geometrii je směrový vektor. Jedná se o vektor, který udává směr přímky nebo polopřímky.

Pro přímku definovanou dvěma různými body A a B je směrový vektor u dán jejich rozdílem:

u = B - A

Jakýkoliv nenulový skalární násobek tohoto vektoru je také směrovým vektorem dané přímky. Pro zjednodušení a jednoznačnost se často pracuje s jednotkovým směrovým vektorem, což je směrový vektor, jehož velikost je rovna 1. Získá se vydělením libovolného směrového vektoru jeho velikostí:

û = u / ||u||

Směrové kosiny

V trojrozměrném prostoru lze směr vektoru v = (v_x, v_y, v_z) elegantně popsat pomocí směrových kosinů. Jsou to kosiny úhlů (α, β, γ), které vektor svírá s kladnými poloosami souřadnicového systému (x, y, z).

• cos α = v_x / ||v||
• cos β = v_y / ||v||
• cos γ = v_z / ||v||

Pro směrové kosiny platí důležitý vztah:

cos²α + cos²β + cos²γ = 1

Směrové kosiny jsou zároveň složkami jednotkového směrového vektoru.

⚙️ Reprezentace a použití

Pojem směru je klíčový v mnoha vědních a technických oborech.

V analytické geometrii

V analytické geometrii je směr základem pro popis přímek a rovin.

• Parametrické vyjádření přímky: Přímka je definována bodem, kterým prochází (A), a směrovým vektorem (u). Její rovnice je X = A + tu, kde t je parametr.
• Obecná rovnice roviny: Rovina je definována normálovým vektorem (n), který je kolmý na všechny směry ležící v rovině. Její rovnice je ax + by + cz + d = 0, kde (a, b, c) jsou složky normálového vektoru n.

Ve fyzice

Ve fyzice je rozlišení mezi skalárními a vektorovými veličinami zásadní. Vektorové veličiny mají kromě velikosti i směr.

• Pohyb: Rychlost je vektor, který udává nejen jak rychle se objekt pohybuje (velikost), ale i jakým směrem. Podobně zrychlení udává směr změny rychlosti.
• Síly: Síla je vektor. Působení síly na těleso závisí na její velikosti i směru.
• Pole: Elektrické pole a magnetické pole jsou vektorová pole, kde v každém bodě prostoru je definován vektor (intenzita), který má velikost a směr.

V geografii a navigaci

V geografii a navigaci je určení směru klíčové pro orientaci a pohyb.

• Světové strany: Základní směry jsou sever, jih, východ a západ.
• Azimut: Úhel měřený ve směru hodinových ručiček od severu. Používá se v kartografii, geodézii a při práci s kompasem.
• Kurz: Směr, kterým se pohybuje loď, letadlo nebo jiné vozidlo. Moderní systémy jako GPS pracují s přesnými směrovými vektory.

V počítačové grafice

V počítačové grafice je směr nepostradatelný pro realistické zobrazení 3D scén.

• Osvětlení: Směr světelných paprsků určuje, jak budou povrchy objektů osvětleny a kam budou vrženy stíny.
• Normály povrchů: Každý bod na povrchu 3D modelu má normálový vektor, který je na povrch kolmý a určuje jeho orientaci vůči světlu a kameře. To je klíčové pro výpočty stínování (shading).
• Kamera: Pozice a směr pohledu kamery určují, jaká část scény bude viditelná pro uživatele.

➕ Související pojmy

• Orientace (smysl): Rozlišuje mezi dvěma protichůdnými možnostmi v rámci jednoho směru (např. "vpřed" a "vzad" na jedné přímce). Dva vektory mají stejný směr, pokud jsou rovnoběžné, ale stejnou orientaci pouze pokud jsou kladnými násobky jeden druhého.
• Vektor: Matematický objekt, který má velikost i směr. Je základním nástrojem pro práci se směrem.
• Přímka a polopřímka: Geometrické útvary definované pomocí bodu a směru.
• Normála: Vektor kolmý k tečně křivky nebo k tečné rovině plochy v daném bodě. Definuje "směr ven" z povrchu.

💡 Pro laiky

Představte si, že stojíte na náměstí a chcete někomu popsat cestu k soše. Když řeknete: "Jděte 100 metrů," tato informace je neúplná. Člověk neví, kterým směrem se má vydat. Musíte přidat směr: "Jděte 100 metrů směrem k té velké věži."

• Směr je ta část informace, která říká "kudy" nebo "kam", nezávisle na tom, jak daleko to je. Je to jako ukázat prstem.
• Vzdálenost (nebo velikost) je ta část, která říká "jak daleko" (v našem příkladu 100 metrů).

Ve fyzice a matematice se tyto dvě informace – směr a velikost – spojují do jednoho objektu, kterému se říká vektor. Směr je tedy základní vlastností vektoru. Když mluvíme o směru větru, směru jízdy auta nebo směru, kterým letí míč, vždy popisujeme tuto fundamentální geometrickou vlastnost.

⏰ Tento článek je aktuální k datu 17.12.2025